Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas panjang sabuk lilitan minimal yang membatasi dua lingkaran atau lebih. Dan pembahasan ini hanya dibatasi pada lingkaran yang mempunyai jari-jari sama besar.
Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
Panjang lilitan
= AB + BC + busur CD + DE + EF + busur FA
= 2r + 2r + ( ½ × keliling lingkaran) + 2r + 2r + ( ½ × keliling lingkaran)
= 2r + 2r + ( ½ × 2πr) + 2r + 2r + ( ½ × 2πr) (d = 2r)
= d + d + (πr) + d + d + (πr)
= 4d + 2πr
= 4d + πd
Perhatikan, bahwa angka 4 yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk. Lalu bagaimana cara menghitung panjang sabuk lilitan minimal jika tiga buah lingkaran dililit dengan posisi lilitan seperti gambar di bawah ini!
Perhatikan gambar tersebut! Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama, yaitu r, dililit dengan sebuah sabuk. Akibatnya, tiga lingkaran tersebut saling bersinggungan, dengan garis singgung AB, CD, dan EF.
Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan tiga lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
Perhatikan ΔPQR! Karena ΔPQR adalah segitiga sama sisi, maka ∠PRQ = 60o.
Sehingga, ∠FRA = 360o – (∠FRP + ∠PRQ + ∠ARQ)
= 360o – (90o + 60o + 90o)
= 360o – 240o
= 120o
Maka, busur FA = 120o/360o × keliling lingkaran = ⅓ keliling lingkaran.
Karena lingkaran yang diikat adalah lingkaran yang berjari-jari sama, maka busur FA = busur BC = busur ED.
Sehingga panjang lilitannya adalah:
= AB + busur BC + DC + busur DE + EF + busur FA
= AB + busur FA + DC + busur FA + EF + busur FA
= AB + DC + EF + 3 busur FA
= 2r + 2r + 2r + (3 × ⅓ × keliling lingkaran) karena diameter, d = 2r, maka,
= d + d + d + (keliling lingkaran)
= 3d + 2πr
= 3d + πd
Perhatikan, angka 3 yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk.
Dengan demikian dapat disimpulkan, jika beberapa lingkaran yang berdiameter sama, yaitu d, dililit sebuah sabuk sedemikian rupa sehingga saling bersinggungan, dan n banyaknya garis singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk, maka berlaku rumus.
d = 2r
= 2 × 9
= 18 cm
Banyaknya garis singgung = n = 4 buah
Panjang lilitan minimal = nd + πd
= 4 × 18 + 3,14 × 18
= 72 + 56,52
= 128,52 cm
Jadi, panjang lilitan minimalnya adalah 128,52 cm.
Baca juga: Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Rumus Panjang Sabuk Lilitan
Perhatikan gambar di bawah ini! Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama, yaitu r, dililit secara horizontal dengan sebuah sabuk. Akibatnya, tiga lingkaran tersebut saling bersinggungan dengan garis singgung AB, BC, DE, dan EF.Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
Panjang lilitan
= AB + BC + busur CD + DE + EF + busur FA
= 2r + 2r + ( ½ × keliling lingkaran) + 2r + 2r + ( ½ × keliling lingkaran)
= 2r + 2r + ( ½ × 2πr) + 2r + 2r + ( ½ × 2πr) (d = 2r)
= d + d + (πr) + d + d + (πr)
= 4d + 2πr
= 4d + πd
Perhatikan, bahwa angka 4 yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk. Lalu bagaimana cara menghitung panjang sabuk lilitan minimal jika tiga buah lingkaran dililit dengan posisi lilitan seperti gambar di bawah ini!
Perhatikan gambar tersebut! Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama, yaitu r, dililit dengan sebuah sabuk. Akibatnya, tiga lingkaran tersebut saling bersinggungan, dengan garis singgung AB, CD, dan EF.
Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan tiga lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
Perhatikan ΔPQR! Karena ΔPQR adalah segitiga sama sisi, maka ∠PRQ = 60o.
Sehingga, ∠FRA = 360o – (∠FRP + ∠PRQ + ∠ARQ)
= 360o – (90o + 60o + 90o)
= 360o – 240o
= 120o
Maka, busur FA = 120o/360o × keliling lingkaran = ⅓ keliling lingkaran.
Karena lingkaran yang diikat adalah lingkaran yang berjari-jari sama, maka busur FA = busur BC = busur ED.
Sehingga panjang lilitannya adalah:
= AB + busur BC + DC + busur DE + EF + busur FA
= AB + busur FA + DC + busur FA + EF + busur FA
= AB + DC + EF + 3 busur FA
= 2r + 2r + 2r + (3 × ⅓ × keliling lingkaran) karena diameter, d = 2r, maka,
= d + d + d + (keliling lingkaran)
= 3d + 2πr
= 3d + πd
Perhatikan, angka 3 yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk.
Dengan demikian dapat disimpulkan, jika beberapa lingkaran yang berdiameter sama, yaitu d, dililit sebuah sabuk sedemikian rupa sehingga saling bersinggungan, dan n banyaknya garis singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk, maka berlaku rumus.
Panjang sabuk lilitan minimal = nd + πd
Contoh Soal
Berdasarkan gambar di bawah ini, jika jari-jari lingkaran 9 cm, hitunglah panjang lilitan minimalnya!Penyelesaian:
Jari-jari = 9 cmd = 2r
= 2 × 9
= 18 cm
Banyaknya garis singgung = n = 4 buah
Panjang lilitan minimal = nd + πd
= 4 × 18 + 3,14 × 18
= 72 + 56,52
= 128,52 cm
Jadi, panjang lilitan minimalnya adalah 128,52 cm.
Baca juga: Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran