Berikut ini merupakan pembahasan tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang meliputi sistem persamaan linear dua variabel, spldv, menyelesaiakan sistem persamaan linear dua variabel dengan grafik, persamaan linear dua variabel metode grafik, subsitusi, eliminasi dan campuran.
Apabila terdapat dua buah persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, dimana persamaan yang satu dan lainnya tidak terpisahkan, maka persamaan-persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear dua variabel.
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c
px + qy = r
Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) di atas, a, b, p, dan q disebut koefisien, x dan y adalah variabel dari SPLDV, serta c dan r disebut konstanta.
Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut dinamakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Semua variabel, koefisien dan konstanta dalam SPLDV merupakan bilangan real.
Pertanyaan kita sekarang adalah bagaimana cara untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel?
Jika garisnya tidak berpotongan atau sejajar maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Namun demikian, jika garisnya berhimpit maka jumlah himpunan penyelesaiannya tak berhingga.
Titik potong kedua garis adalah (2, 2). Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (2, 2).
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = 2 dan 2x – 2y = –4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real)
Kedua garis ternyata sejajar, sehingga tidak ada titik potong. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong { }.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = –2 dan 2x – 2y = –4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real)
Penyelesaian:
Kedua garis ternyata berimpit. Maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut tak berhingga banyaknya.
Langkah-langkah pengerjaan dengan menggunakan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian dari SPLDV adalah sebagai berikut.
Penyelesaian:
Langkah 1 (mengubah ke dalam bentuk x = ... atau y = ...)
Langkah 2 (substitusi y = 4 – 2x ke persamaan –x + 2y = –7)
Langkah 3 (substitusi x = 3 ke 2x + y = 4 atau –x + 2y = –7)
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 4; x,y Î R dan –x + 2y = 7; x, y Î R adalah {(3, -2)}.
Caranya dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua sistem persamaan tersebut. Untuk menentukan variabel y, maka hilangkan terlebih dahulu variabel x. Begitu pula sebaliknya, untuk menentukan variabel x, maka hilangkan terlebih dahulu variabel y.
Sebagai catatan, untuk menghilangkan variabel x atau y maka koefisien dari masing-masing variabel dalam sistem persamaan haruslah sama.
Jika salah satunya tidak sama maka harus disamakan dahulu. Caranya mengalikan dengan bilangan bulat tertentu sehingga koefisiennya menjadi sama. Perhatikan contoh berikut!
Penyelesaian:
• Mengeliminasi variabel x (untuk mencari y)
• Mengeliminasi variabel y (untuk mencari x)
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(0, 2)}.
Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode campuran, yaitu menentukan salah satu variabel x atau y dengan menggunakan metode eliminasi.
Hasil yang diperoleh dari x atau y kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan linear dua variabel tersebut. Perhatikan contoh berikut ini!
Penyelesaian:
• Mengeliminasi variabel x (untuk mencari y)
• Substitusi y = 4 ke persamaan 2x + 3y = 10
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(-1, 4)}.
Baca juga: Soal Cerita Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Dalam persamaan linear dua variabel kalian akan mene mukan himpunan penyelesaian yang berupa pasangan berurutan.Apabila terdapat dua buah persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, dimana persamaan yang satu dan lainnya tidak terpisahkan, maka persamaan-persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear dua variabel.
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c
px + qy = r
Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) di atas, a, b, p, dan q disebut koefisien, x dan y adalah variabel dari SPLDV, serta c dan r disebut konstanta.
Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut dinamakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Semua variabel, koefisien dan konstanta dalam SPLDV merupakan bilangan real.
Pertanyaan kita sekarang adalah bagaimana cara untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel?
Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan empat metode, yaitu metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi, dan metode campuran (substitusi dan eliminasi).
1. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Grafik
Ketika menggunakan metode grafik, kalian harus menggambar masing-masing persamaan linear dua variabel tersebut dalam koordinat kartesius. Himpunan penyelesaiannya adalah titik potong dari kedua garis.Jika garisnya tidak berpotongan atau sejajar maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Namun demikian, jika garisnya berhimpit maka jumlah himpunan penyelesaiannya tak berhingga.
Contoh Soal dan Pembahasannya
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – y = 2 dan x + y = 4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real)Titik potong kedua garis adalah (2, 2). Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (2, 2).
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = 2 dan 2x – 2y = –4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real)
Kedua garis ternyata sejajar, sehingga tidak ada titik potong. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong { }.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = –2 dan 2x – 2y = –4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real)
Penyelesaian:
Kedua garis ternyata berimpit. Maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut tak berhingga banyaknya.
2. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Subtitusi
Setelah kita belajar cara menentukan himpunan penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik, sekarang kita akan mempelajari cara menentukan himpunan penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi.Langkah-langkah pengerjaan dengan menggunakan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian dari SPLDV adalah sebagai berikut.
- Ubahlah salah satu persamaan ke dalam bentuk x = ... atau y = ...
- Masukkan (substitusi) nilai x atau y yang diperoleh ke dalam persamaan yang kedua
- Nilai x atau y yang diperoleh kemudian disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan untuk memperoleh nilai variabel lainnya yang belum diketahui (x atau y).
Contoh Soal dan Pembahasannya
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 4; x,y Î R dan –x + 2y = –7; x,y Î R menggunakan metode substitusi!Penyelesaian:
Langkah 1 (mengubah ke dalam bentuk x = ... atau y = ...)
- 2x + y = 4
- y = 4 – 2x
Langkah 2 (substitusi y = 4 – 2x ke persamaan –x + 2y = –7)
- –x + 2y = –7
- –x + 2(4 – 2x) = –7
- –x + 8 – 4x = –7
- –x – 4x = –7 - 8
- –5x = –15
- x = –15:(–5)
- x = 3
Langkah 3 (substitusi x = 3 ke 2x + y = 4 atau –x + 2y = –7)
- 2x + y = 4
- 2(3) + y = 4
- 6 + y = 4
- y = 4 – 6
- y = –2
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 4; x,y Î R dan –x + 2y = 7; x, y Î R adalah {(3, -2)}.
3. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi
Penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi pada dasarnya adalah menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan yang akan dicari himpunan penyelesaiannya.Caranya dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua sistem persamaan tersebut. Untuk menentukan variabel y, maka hilangkan terlebih dahulu variabel x. Begitu pula sebaliknya, untuk menentukan variabel x, maka hilangkan terlebih dahulu variabel y.
Sebagai catatan, untuk menghilangkan variabel x atau y maka koefisien dari masing-masing variabel dalam sistem persamaan haruslah sama.
Jika salah satunya tidak sama maka harus disamakan dahulu. Caranya mengalikan dengan bilangan bulat tertentu sehingga koefisiennya menjadi sama. Perhatikan contoh berikut!
Contoh Soal dan Pembahasannya
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – y = –2; x,y Î R dan x + 2y = 4; x,y Î R dengan menggunakan metode elimi nasi!Penyelesaian:
• Mengeliminasi variabel x (untuk mencari y)
• Mengeliminasi variabel y (untuk mencari x)
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(0, 2)}.
4. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)
Dalam pengerjaan soal persamaan linear dua variabel, terkadang kita menemukan kesulitan jika menggunakan metoda eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode campuran, yaitu menentukan salah satu variabel x atau y dengan menggunakan metode eliminasi.
Hasil yang diperoleh dari x atau y kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan linear dua variabel tersebut. Perhatikan contoh berikut ini!
Contoh Soal dan Pembahasannya
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 7; x,y∈R dan 2x + 3y = 10; x,y∈R menggunakan metode campur an!Penyelesaian:
• Mengeliminasi variabel x (untuk mencari y)
• Substitusi y = 4 ke persamaan 2x + 3y = 10
- 2x + 3y = 10
- 2x + 3(4) = 10
- 2x + 12 = 10
- 2x = –2
- x = –1
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(-1, 4)}.
Baca juga: Soal Cerita Persamaan Linear