Berikut ini adalah pembahasan tentang Gradien yang meliputi pengertian gradien, contoh soal gradien, rumus gradien, rumus gradien garis, rumus mencari gradien.
Salah satu perhitungan matematika yang harus diperhatikan dalam pembangunan jalan seperti itu adalah kemiringannya.
Perhatikan gambar di bawah ini! Untuk menjangkau dan memadamkan titik api yang menjadi penyebab kebakaran, para petugas pemadam kebakaran menggunakan tangga dengan kemiringan tertentu.
Tahukah kalian mengapa tangga yang digunakan oleh pemadam kebakaran posisinya miring?
Jika kita menganggap tangga pada gambar tersebut adalah satu garis lurus maka garis tersebut memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan ini dalam matematika dikenal dengan sebutan gradien.
Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (3, 5) adalah y = (5/3)x. Sehingga gradiennya adalah 5/3.
Penyelesaian:
x1 = 6; y1 = 2; x2 = 3; y2 = 5
Jadi, gradien persamaan garisnya adalah -1.
Kesimpulan bahwa perbandingan komponen x dan komponen y pada setiap ruas garis adalah sama, yaitu 1. Bilangan 1 ini merupakan gradien dari persamaan garis y = x + 2.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Garis o sejajar dengan sumbu-x sedangkan garis n sejajar dengan sumbu-y. Pada gambar terlihat dengan jelas bahwa garis o melewati titik (-4, 2) dan (5, 2). Gradien garis o adalah
Garis n melewati titik (4, 8) dan (4, -5).
Gradien garis n adalah m = (–5 – 8):(4 – 4) = 13/0 = (tidak didefinisikan).
Perhatikan gambar di atas, kemudian lakukan kegiatan di bawah ini untuk mencari gradien garis yang saling sejajar. Apa yang dapat kalian simpulkan berdasarkan kegiatan tersebut?
Carilah gradien ruas garis AB, PQ, MN, dan RS pada gambar di atas dengan melengkapi titik-titik berikut ini!
• Titik A (1, 4) ; B (6, 11)
Gradien AB = (11 – 4):(6 – 1) = 7/5
• Titik P (2,2) ; Q (7,9)
Gradien PQ = (9 – 2):(7 – 2) = 7/5
• Titik M (6,3); N (11,10)
Gradien MN = (10 – 3):(11–6) = 7/5
• Titik R (1,4); S (6,11)
Gradien RS = (11 - 7):(6 - 1) = 7/5
Jadi gradien garis AB = PQ = MN = RS = 7/5 .
Penyelesaian:
ml = 2 ;
mk × ml = –1
ml = –(1/mk)
= –(1/2)
= -½
Jadi, gradien garis l adalah -½.
Baca juga: Rumus Persamaan Garis Lurus
Pengertian Gradien
Pernahkah kalian melewati jalan yang naik dan turun seperti halnya jalan-jalan di daerah pegunungan? Tahukah kalian bahwa dalam pembuatan jalan yang menanjak dan berkelok-kelok diperlukan perhitungan tertentu agar kendaraan mudah melewatinya.Salah satu perhitungan matematika yang harus diperhatikan dalam pembangunan jalan seperti itu adalah kemiringannya.
Perhatikan gambar di bawah ini! Untuk menjangkau dan memadamkan titik api yang menjadi penyebab kebakaran, para petugas pemadam kebakaran menggunakan tangga dengan kemiringan tertentu.
Tahukah kalian mengapa tangga yang digunakan oleh pemadam kebakaran posisinya miring?
Jika kita menganggap tangga pada gambar tersebut adalah satu garis lurus maka garis tersebut memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan ini dalam matematika dikenal dengan sebutan gradien.
Jadi, gradien suatu garis adalah ukuran kemiringan atau kecondongan suatu garis.Selain itu gradien juga disebut sebagai koefisien arah pada suatu garis lurus dan dilambangkan dengan huruf m.
Gradien adalah nilai kemiringan / kecondongan suatu garis yang membandingkan antara komponen Y (ordinat) dengan komponen X (absis).
Rumus Mencari Gradien
Ada beberapa kondisi atau keadaan untuk mencari gradien garis;1. Gradien Garis yang Melalui Titik Pusat (0,0) dan Titik (x, y)
Kalian sudah mengetahui bahwa persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik (x, y) adalah y = mx. Perhatikan contoh berikut.Contoh Soal dan Pembahasannya
Tentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik pusat dan titik (3, 5)!Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (3, 5) adalah y = (5/3)x. Sehingga gradiennya adalah 5/3.
Dari contoh soal di atas dapat disimpulkan bahwa gradien dari persaman garis y = mx adalah m.Kesimpulan bahwa perbandingan antara komponen y dengan komponen x pada setiap ruas garis adalah sama. Nilai perbandingan tersebut dinamakan gradien.
Jadi, persamaan garis y = mx memiliki gradien m dengan m = y/x.
2. Gradien Garis yang Melalui Dua Buah Titik (x1, y1) dan (x2, y2)
Tidak selamanya bahwa sebuah garis itu akan melewati titik pusat (0,0). Jika suatu garis tidak melewati titik pusat (0,0), dapatkah kalian menentukan gradiennya?Contoh Soal dan Pembahasannya
Tentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik (6, 2) dan titik (3, 5)!Penyelesaian:
x1 = 6; y1 = 2; x2 = 3; y2 = 5
Jadi, gradien persamaan garisnya adalah -1.
Kesimpulan bahwa perbandingan komponen x dan komponen y pada setiap ruas garis adalah sama, yaitu 1. Bilangan 1 ini merupakan gradien dari persamaan garis y = x + 2.
Jadi, persaman garis y = mx, c ≠ 0 memiliki gradien m dengan;
3. Gradien Garis Yang Sejajar Sumbu-x dan Sumbu-y
Untuk menentukan gradien garis yang sejajar sumbu-x dan gradien garis yang sejajar sumbu-y kita dapat menggunakan rumus;Perhatikan gambar di bawah ini!
Garis o sejajar dengan sumbu-x sedangkan garis n sejajar dengan sumbu-y. Pada gambar terlihat dengan jelas bahwa garis o melewati titik (-4, 2) dan (5, 2). Gradien garis o adalah
Jadi, gradien garis yang sejajar sumbu-x adalah 0.Perhatikan garis n di bawah ini!
Garis n melewati titik (4, 8) dan (4, -5).
Gradien garis n adalah m = (–5 – 8):(4 – 4) = 13/0 = (tidak didefinisikan).
Jadi, gradien garis yang sejajar sumbu-y tidak didefinisikan.
4. Gradien Garis Yang Saling Sejajar
Gradien garis yang sejajar sumbu-x adalah 0. Bagaimana dengan gradien dua buah garis yang saling sejajar seperti terlihat pada gambar berikut?Perhatikan gambar di atas, kemudian lakukan kegiatan di bawah ini untuk mencari gradien garis yang saling sejajar. Apa yang dapat kalian simpulkan berdasarkan kegiatan tersebut?
Carilah gradien ruas garis AB, PQ, MN, dan RS pada gambar di atas dengan melengkapi titik-titik berikut ini!
• Titik A (1, 4) ; B (6, 11)
Gradien AB = (11 – 4):(6 – 1) = 7/5
• Titik P (2,2) ; Q (7,9)
Gradien PQ = (9 – 2):(7 – 2) = 7/5
• Titik M (6,3); N (11,10)
Gradien MN = (10 – 3):(11–6) = 7/5
• Titik R (1,4); S (6,11)
Gradien RS = (11 - 7):(6 - 1) = 7/5
Jadi gradien garis AB = PQ = MN = RS = 7/5 .
5. Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus
Selain kedudukan dua buah garis yang sejajar, terdapat pula kedudukan dua buah garis yang saling tegak lurus. Bagaimana gradien garis yang saling tegak lurus? Apakah gradiennya sama?Gradien dua buah garis yang saling tegak lurus apabila dikalikan hasilnya sama dengan –1. Jadi, jika l adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan garis p maka berlaku ml × mp = –1.Perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal dan Pembahasannya
Garis k memiliki persamaan y = 2x + 5. Jika garis l tegak lurus garis k tentukanlah gradien garis l!Penyelesaian:
ml = 2 ;
mk × ml = –1
ml = –(1/mk)
= –(1/2)
= -½
Jadi, gradien garis l adalah -½.
Baca juga: Rumus Persamaan Garis Lurus